IL PLATONISMO DELLE SIMMETRIE

Matematicamente un gruppo è un insieme di oggetti per i quali si può definire un’operazione chiamata prodotto che gode della proprietà associativa (a.(b.c)=(a.b).c) che ha un elemento neutro tale che a.1=1.a=a e che esiste per ogni a l’inverso, cioè vale a.inv(a)=inv(a).a=1. Un gruppo si dice semplice quando non ha sottogruppi, cioè sottoinsiemi di elementi che sono gruppi rispetto alla stessa operazione.  Un gruppo definisce una simmetria. Si pensi, ad esempio, alle possibili rotazioni di una figura piana come insieme e all’operazione di compiere due rotazioni una dopo l’altra. Tale struttura gode di tutte le proprietà di un gruppo e ciò che resta invariante per rotazione stabilisce una simmetria della figura. Ad esempio, un cerchio ruotato di qualsiasi angolo resta sempre uguale. Ora negli anni Ottanta è stato dimostrato che l’insieme dei gruppi semplici finiti (cioè con un numero finito di elementi) è costituito da poche famiglie di gruppi e da una collezione finita di gruppi semplici eccezionali. Per molti fisici le simmetrie sono oggi fondamentali in fisica e alcuni pensano che questo gruppi eccezionali giocano un ruolo importante in fisica. A me fa venire in mente la parte del Timeo di Platone dove egli stabilisce una connessione fra i soli 5 solidi regolari esistenti nella geometria euclidea e i 4 elementi, terra, acqua, fuoco e aria e il quinto elemento di cui è fatto il cielo. Chissà se i fisici fra duemila anni guarderanno a queste idee sulla simmetria con lo stesso sorriso con cui oggi essi guardiamo a quelle tesi di Platone.