IL SIGNIFICATO FILOSOFICO DEL TEOREMA DI GOEDEL

Alla fine dell’Ottocento il matematico Georg Cantor dimostra che i numeri reali non possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, cioè che i primi sono intrinsecamente più numerosi dei secondi. Gödel, utilizzando una procedura analoga a quella della diagonale di Cantor, dimostra che un sistema logico coerente, che ha le capacità espressive dell’aritmetica elementare, contiene un enunciato per il quali, in quel sistema, non esiste né una dimostrazione della sua verità, né una dimostrazione della sua falsità. Questo teorema non fornisce una risposta definitiva al celebre problema della decisione formulato da Hilbert nel 1900, cioè se esista o meno una procedura meccanica in grado di stabilire per ogni enunciato matematico se sia dimostrabile che è vero o dimostrabile che è falso, anche se esso suggerisce fortemente che la risposta sia negativa. Sarà Alan Turing che in una celebre memoria del 1936 fornirà una ragionevole definizione del concetto intuitivo di “procedura meccanica” – ciò che può fare una macchina di Turing – e poi dimostrerà, sulla falsariga di Cantor e Gödel, che non esiste nessuna procedura meccanica in grado di stabilire se una procedura meccanica si fermi o meno, cioè se essa arrivi o meno a una conclusione. Dunque non esiste una procedura meccanica che sia in grado di determinare se una procedura meccanica sia o meno una dimostrazione. Ne segue che la risposta al problema di Hilbert è senz’altro negativa. Il teorema di Gödel costruisce effettivamente un enunciato che non può essere dimostrato né può essere dimostrata la sua negazione. Tale enunciato, può essere interpretato come l’affermazione che esso non è dimostrabile. Per cui in un certo senso è semanticamente vero. Alcuni, come Lucas e Penrose hanno allora sostenuto che l’uomo è in grado di vedere la verità di enunciati, che algoritmicamente non sono dimostrabili, per cui, secondo Lucas l’uomo non è una macchina e secondo Penrose l’uomo non è una macchina di Turing. Tali argomenti sono concettualmente sbagliati, per diversi motivi, fra i quali il più importante è che se qualcuno si rende conto che un enunciato è semanticamente vero è perché sta computando in un metalinguaggio rispetto a quello in cui l’enunciato non è dimostrabile, e questa computazione può essere realizzata da una macchina di Turing. Tuttavia Gödel stesso in una conferenza tenuta nel 1951 e il grande logico Paul Benacerraf, in un saggio indipendente del 1967, hanno sottolineato che se noi abbiamo le capacità cognitive di una macchina di Turing, allora, dato il teorema di Turing, ci sono cose che riguardano le nostre capacità cognitive che non possiamo conoscere. Secondo Benacerraf, è’ un po’ come se non saremo mai in grado di obbedire in modo completo al celebre imperativo socratico del “conosci te stesso”.

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