IL PARADOSSO DI ZENONE DELLA FRECCIA E LA TOPOLOGIA

Seguendo linee argomentative analoghe a quelle proposte da Adolf Grünbaum nel suo Modern Science and Zeno’s Paradoxes, si potrebbe provare a risolvere il paradosso di Zenone della freccia nel modo seguente.

Si faccia l’ipotesi che la punta di una freccia percorra un tratto di spazio fra A e B. Dopo di che si prenda in considerazione l’insieme dei punti per cui passa la punta della freccia, chiamiamolo P. Su P si può costruire una topologia introducendo una nozione di distanza d: d(x,y) è l’insieme dei punti compresi fra x e y. Allora gli aperti così definiti in P sono chiusi rispetto all’intersezione e all’unione (anche infinita). Dobbiamo inoltre stabilire che P è un aperto e che l’insieme vuoto è un aperto.

Facciamo ora l’ipotesi che áP,dñ sia uno spazio topologico di Hausdorff connesso. Uno spazio è connesso se non è possibile dividerlo in due sotto-spazi che non hanno elementi in comune e la chiusura dell’uno non comprende elementi dell’altro. Ad esempio, si consideri l’insieme di numeri reali [0,2], esso è connesso; infatti i sottoinsiemi [0,1[ e ]1,2] sono separati, ma la loro unione non copre l’intero segmento perché manca il numero “1”. Viceversa gli insiemi [0,1] e ]1,2] uniti danno l’intero, ma non sono separati, perché la chiusura di ]1,2] è “1” che fa parte di [0,1]. Inoltre uno spazio è di Hausdorff se, presi due punti qualsiasi x e y è sempre possibile trovare due intorni X di x e Y di y tali che X non contiene y e Y non contiene x. Ad esempio l’insieme [0,2] di numeri reali è di Hausdorff.

In pratica la connessione di P ci garantisce che il percorso della punta della freccia è continuo e il suo carattere di Hausdorff che è possibile distinguere diverse posizioni della punta della freccia. Insiemi di Hausdorff connessi esistono, come ad esempio l’insieme già menzionato [0,2].

Il paradosso della freccia nasce dal fatto che in ogni istante la punta della freccia occupa un punto separato di P – individuato dalla condizione di Hausdorff – e quindi in ogni istante la freccia è ferma. Tuttavia se la punta della freccia in un istante t occupasse una certa posizione x, allora si potrebbe distinguere fra i punti occupati dalla punta della freccia fino a quell’istante compreso e quelli successivi fino all’arrivo. Questi due insiemi sarebbero due insiemi separati o entrambi aperti, perché non esiste un ultimo punto occupato dalla punta della freccia nell’istante t, dato che essa è in movimento, né un primo punto occupato dopo l’istante t. Ovvero, se si potesse affermare che la punta della freccia occupa un certo punto di P all’istante t, allora P non sarebbe connesso, contro l’ipotesi. Dunque se P è di Hausdorff e connesso la punta della freccia non può occupare un determinato punto di P a un istante dato e quindi non è ferma.

A questo punto occorre stabilire se P sia connesso e di Hausdorff o meno. E’ difficile dubitare che lo spazio percorso dalla punta della freccia sia connesso in senso topologico (già Aristotele lo aveva sottolineato), per contro ci sono serie difficoltà ad affermare che P rispetti la condizione di Hausdorff, in quanto è facile immaginare due punti di P che sono contigui e quindi ogni intorno dell’uno è anche intorno dell’altro. Qui occorrerebbe una riflessione più approfondita sulla percezione dei punti. Ho però la sensazione che si possa percepire una linea, che è troppo sottile per essere divisa in due parti percepibili orizzontalmente, mentre può ancora essere divisa verticalmente. ma dopo divisa a metà verticalmente dà origine a due oggetti indivisibili. C’è da dire che noi percepiamo come indivisibili macchie che se effettivamente divise danno origine a macchie ancora visibili. “Indivisibile” dal punto di vista percettivo non significa che se diviso è ancora visibile, ma che appare con un’estensione. In altre parole, nello spazio percettivo la nozione stessa di punto occupato dalla punta della freccia non sembra sensata. D’altra parte non per questo il paradosso scompare, perché il problema non riguarda tanto la punta della freccia, ma l’intero spazio da lei occupato.

Dunque noi non sappiamo se lo spazio ha le caratteristiche dello spazio percettivo o quelle di uno spazio geometrizzato così come definito dalle teorie fisiche. O meglio, molti aspetti dello spazio percettivo sono certamente illusori, come la distinzione fra alto e basso, ma non conosco seri argomenti scientifici a favore dell’ipotesi che lo spazio rispetti la condizione di Hausdorff come capita alle varietà utilizzate in fisica teorica. Forse si potrebbe dire che la fisica costruita su tali varietà, come la relatività generale, è ampiamente confermata, per cui, indirettamente anche l’ipotesi che lo spazio sia di Hausdorff è confermata. Tuttavia si tratta di un’applicazione dell’inferenza alla migliore spiegazione alquanto spericolata. Né si può dare come spiegazione della nostra incapacità di cogliere il carattere di Hausdorff dello spazio, l’affermare che la nostra vista è troppo debole, come capita, ad esempio, per vedere i parameci. Infatti solo ipotizzando punti infinitamente piccoli la condizione di Hausdorff verrebbe soddisfatta.

Né si riesce a uscire dall’impasse utilizzando una condizione di separatezza meno forte, come ad esempio che almeno uno dei due punti abbia un intorno che non contiene l’altro, perché lo spazio percettivo sembra violare anche questa condizione.

Come Aristotele, resto convinto che il paradosso della freccia non si possa affrontare senza utilizzare gli ambigui concetti modali.

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6 commenti

Archiviato in FILOSOFIA DELLA FISICA

6 risposte a “IL PARADOSSO DI ZENONE DELLA FRECCIA E LA TOPOLOGIA

  1. Ma il paradosso non scompariva, come quello di Achille, semplicemente inserendo nella trattazione i numeri reali? Così mi hanno sempre spiegato. Sicuramente la tua trattazione è più elegante, ma non vedo nemmeno perchè dovremmo porci questa questione a meno che tu non voglia iniziare a presupporre uno spazio discreto seppur quantizzato.

  2. Sì quella è la soluzione di Grunbaum, che è un caso particolare di quella che propongo io, credo. Confutando questa è confutata anche quella direi.

  3. ma si puo sapere a che cavolo stavano pensando questi?ma nn avevano proprio niente da fare…….e noi che poi dobbiamo studiarli…..

  4. celestino

    Salve,
    premetto di essere assolutamente ignorante in materia, ma il paradosso di Zenone mi ha sempre incuriosito.
    In pratica se noi prendiamo il percorso che dovrà percorrere la freccia per raggiungere il bersaglio e lo dividiamo per 2 un numero infinito di volte possiamo raggiungere l’infinitamente piccolo e quindi possiamo definire tale distanza anche infinitamente grande. Secondo questo principio la freccia non dovrebbe arrivare mai al bersaglio, ma c’è da dire che la freccia stessa come tutto l’ambiente che la circonda è infinitamente grande e quindi tali “infinità” si annullano riportandoci ad un finito.

  5. Caro Celestino, quello che riferisce lei è il paradosso della dicotomia e non della freccia, che risolve su linee simili a quelle proposte da lei. Vedi qui
    https://viverestphilosophari.wordpress.com/2009/04/21/la-dicotomia-di-zenone/

  6. celestino

    Vado a dare un’occhiata, grazie.

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