SIMMETRIA E GRUPPI

E’ opinione comune che il concetto matematico di gruppo sia una buona “esplicazione” in senso carnapiano della nozione intuitiva di simmetria intesa come invarianza rispetto a una trasformazione. Proviamo a chiarire la questione. Se un oggetto possiede una simmetria, questo significa che, se esso viene sottoposto a una trasformazione, l’oggetto mantiene qualcosa di uguale. Ad esempio, il cerchio è una figura altamente simmetrica, perché se lo ruotiamo in un qualsiasi modo resta addirittura uguale a se stesso. Per la stessa ragione un esagono regolare ha una certa simmetria e un icosaedro regolare è più simmetrico dell’esagono, ma meno del cerchio. Qui stiamo però parlando di un tipo particolare di simmetria, in cui addirittura le trasformazioni in ballo lasciano l’oggetto assolutamente uguale. Tuttavia ci possono essere simmetrie in cui solo qualcosa – e non tutto – dell’oggetto resta invariato. Si prenda, ad esempio, l’immagine proiettata sulla retina di una moneta da due euro; essa, vista da diverse angolazioni, risulta quasi sempre come un’ellisse più o meno schiacciata, solo da una particolare prospettiva frontale diventa un cerchio. Il cerchio e tutte queste diverse ellissi hanno senz’altro qualcosa di comune, se la nostra corteccia visiva le interpreta vedendo in esse sempre la stessa moneta da due euro. Infatti in geometria proiettiva questo cerchio e tutte le relative ellissi sono “equivalenti”.

Possiamo allora dire che la simmetria è riconducibile a un’uguaglianza parziale (al limite totale) rispetto a delle trasformazioni. Si tenga presente che, come nota giustamente Elena Castellani in “Symmetry and equivalence”, questa uguaglianza riguarda sì una parte dell’oggetto, ma questa parte deve sempre essere considerata in rapporto con l’intero, come risulta chiaro dall’esempio del cerchio e delle ellissi. Ovvero, un quadrato di lato l e un rettangolo di lati l e b sono parzialmente uguali nel loro lato di lunghezza l, ma non sempre si può scorporare l’uguaglianza parziale in un singolo elemento, come in questo caso.

L’uguaglianza parziale è una relazione di equivalenza in senso algebrico, cioè è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Consideriamo ora l’insieme G delle trasformazioni che lasciano qualcosa di invariante fra gli oggetti di un insieme U e studiamone la sua struttura. Possiamo immaginare di eseguire due di queste trasformazioni in serie, ad esempio a e b; indichiamo questa serie così ab. Prima si esegue a e poi b. (I fisici scrivono al contrario, perché immaginano le operazioni applicate a qualcosa, allora bisognerebbe scrivere ba; ma atteniamoci alla notazione dei matematici.) La relazione “uguaglianza parziale” è riflessiva, cioè ogni oggetto di U è parzialmente uguale (o equivalente) a se stesso. Questo significa che deve esistere in G una trasformazione nulla o identità, che riproduce l’elemento a cui si applica; chiamiamola e. Vale allora ea=ae=a. Inoltre la relazione “uguaglianza parziale” è simmetrica, per cui se a è una trasformazione che lascia qualcosa invariante, allora deve esistere in G anche un’inversa, che chiamiamo a-1, che riporta all’oggetto di partenza. Infine la relazione “uguaglianza parziale” è transitiva, questo implica che se a e b appartengono a G, allora anche ab deve appartenere a G.

Dunque l’insieme G delle trasformazioni che lasciano invariante qualcosa in un insieme di oggetti è dotato di questa operazione che ha l’elemento neutro, ha l’inversa ed è chiusa in G.

Sappiamo che un gruppo in matematica si definisce come un insieme dotato di un operazione che ha quelle stesse proprietà più l’associatività, cioè (ab)c=a(bc). Mi sono chiesto allora quale sia la radice intuitiva di questa nozione nella rappresentazione gruppale della simmetria. Ho consultato il bell’articolo di Elena castellani, già citato e il punto non viene affrontato. Allora sono andato a vedere il famoso saggio di Hermann Weyl Symmetry, e là dove egli introduce il concetto di gruppo per rappresentare le simmetrie addirittura non ribadisce neppure che l’associatività è una proprietà essenziale dei gruppi!

L’amico matematico Angelo Vistoli mi ha chiarito che l’associatività non ha tanto a che fare con la simmetria, quanto con il fatto che l’insieme G è un insieme di trasformazioni e le trasformazioni, che sono di fatto delle funzioni, e la composizione di funzioni è per definizione associativa. Certo si possono immaginare delle strutture dotate di operazioni non associative, ma non sono molto interessanti, perché di fatto non è più possibile comporle.

A questo punto possiamo distinguere fra simmetrie percettive e simmetrie categoriali: le prime sono quelle che possono essere colte con i sensi (vista udito, tatto ecc.) mentre le seconde possono essere afferrate solo in modo analitico. Della prima categoria abbiamo già ampiamente parlato, il cerchio, l’esagono regolare ecc. Per la seconda si pensi, ad esempio, ai numeri pari, che hanno qualcosa in comune, cioè sono tutti divisibili per due. Infatti l’insieme degli interi pari dotato della comune addizione aritmetica è un gruppo che esprime bene la “simmetria categoriale” essere pari. E’ chiaro che tale distinzione, come tutte quelle filosofiche, non è netta, ci sono molti casi intermedi: ad esempio le equivalenze della geometria proiettiva sono parzialmente percettive e parzialmente categoriali. Si può però esibire una scala di percepibilità o categorialità, in modo da produrre un sommario ordine. Comunque, se accettiamo fra le simmetrie anche quelle categoriali, direi che possiamo affermare che tutti i gruppi esprimono una simmetria.

A questo punto sorge l’ovvia domanda, affinché il concetto di gruppo possa essere considerato una buona esplicazione della nozione intuitiva di simmetria intesa come invarianza rispetto a un insieme di trasformazioni, dovrebbe valere anche l’inversa, cioè che tutte le simmetrie sono esprimibili mediante un gruppo. Sempre l’amico Angelo mi ha fatto notare una carenza drammatica del concetto di gruppo. Consideriamo una sfera con tre buchi circolari sufficientemente disordinati da non consentire una simmetria perfetta, cioè, ad esempio, non sono ai vertici di un triangolo equilatero inscritto nella sfera, allora è facile vedere che la simmetria di questa figura, pur essendo presente, non è rappresentabile mediante un gruppo. Per questo i matematici hanno introdotto i cosiddetti “gruppoidi”, che definendo più tipi di trasformazioni parziali in un insieme riescono a esprimere l’invarianza contenuta in una figura di questo tipo. Ogni gruppo è anche un gruppoide, ma non viceversa, ovvero questa nozione generalizza e amplia quella di gruppo, e si propone sempre di più come buon candidato per l’esplicazione della nozione di simmetria (vedi il sito http://www.bangor.ac.uk/~mas010/gpdsweb.html).

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1 Commento

Archiviato in FILOSOFIA DELLA FISICA

Una risposta a “SIMMETRIA E GRUPPI

  1. Davide Bocelli

    Complimenti e grazie. Sono giunto via Google, come per legge su Internet, a questo blog. La tua chiarezza espositiva mi rende più prossimo alla comprensione degli argomenti trattati, naturalmente ostici per i profani come me.

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