I VETTORI

Se in frigorifero ci sono 7 pomodori, in qualsiasi posto mi trovi e da qualsiasi direzione li guardi sono sempre 7. Una grandezza in fisica si dice “scalare” quando ha questa proprietà di invarianza per traslazione e per rotazione. In fisica, però, misuriamo grandezze che possono trovarsi anche in un singolo punto dello spazio. A prima vista si tratta di qualcosa di profondamente controintuitivo, perché siamo abituati a contare oggetti che si trovano in luoghi diversi dello spazio, come appunto i pomodori nel frigo. Tuttavia uno scalare attribuito a un certo punto dello spazio ha una sua anticipazione intuitiva, ad esempio, nella sensazione di pressione che proviamo su una piccola zona della nostra pelle, oppure si pensi alla sensazione di peso. Ma la sensazione di peso o di pressione non sono degli scalari, per il fatto che se noi ci giriamo o ci spostiamo non proviamo più le stesse sensazioni o addirittura non proviamo alcuna sensazione. Il concetto fisico di scalare è qualcosa che unifica l’invarianza del numero di pomodori nel frigorifero con la possibilità che qualcosa si trovi in un punto dello spazio con una certa intensità, senza che tale intensità, per così dire, si distenda nello spazio, come capita, invece, ai pomodori nel frigo. I pomodori nel frigo sono già oggettivati, cioè essi stanno lì indipendentemente da noi; in particolare il loro numero non cambia se noi ci spostiamo o ci giriamo. Per contro un’intensità collocata in un punto dello spazio ha bisogno di essere oggettivata. L’oggettivazione della pressione o del peso sentiti è avvenuta almeno 5000 anni fa quando si è cominciato a misurare la massa gravitazionale dei corpi. La misurazione avviene mediante strumenti che trasformano quella pressione in qualcosa che si può contare nello spazio, cioè simile ai pomodori; così è lo spostamento del braccio della bilancia o la contrazione di una molla ecc. Non il peso sentito, ma il peso misurato da una bilancia è uno scalare.

Ma il mondo di oggetti che ci circonda è in movimento. Ad esempio, qualcuno potrebbe prendere i pomodori fuori dal frigo e lanciarmeli! I pomodori possono muoversi nello spazio a velocità diverse. Un pomodoro in un certo istante e in un certo punto dello spazio ha una certa velocità, che, come il numero di pomodori del caso precedente, è invariante per rotazione e traslazione. (Per “rotazione e traslazione” non intendo il moto, ma un diverso posizionamento dell’osservatore, perché è chiaro che se io mi muovo, allora la velocità del pomodoro che osservo cambia.) I fisici, per rappresentare questo tipo di proprietà invarianti, utilizzano i “vettori”. Per approssimazione possiamo dire che ci troviamo nello spazio euclideo tridimensionale E3 (in realtà si può generalizzare il concetto di vettore a spazi ben più astratti), allora il vettore velocità si “appiccica” al punto dove sta il pomodoro, ha direzione e verso del moto di esso e lunghezza pari all’intensità della velocità del pomodoro. Nello spazio E3 di solito i vettori li si rappresenta come una tripla di numeri reali corrispondenti alle coordinate rettangolari, con origine nel pomodoro, della punta di una freccia. Si tenga presente che queste frecce non “vivono” in E3, dato che il vettore si applica in un certo punto, ma non si estende nello spazio ordinario, esattamente come la sensazione di pressione.

Attenzione perché nello spazio E3 a ogni tripla di numeri reali corrisponde un vettore, ma non ogni grandezza fisica rappresentabile come tripla di numeri reali è un vettore. Se v è il vettore velocità di componenti vx, vy, vz, una grandezza definita come f(v)= 3vx, 2vy, vz non è un vettore. Per contro la grandezza a=dvx/dt, dvy/dt, dvz/dt è un vettore. Ovvero fare la derivata delle componenti di un vettore produce un nuovo vettore, che ovviamente si chiama “accelerazione”. Anche sommare vettori o moltiplicarli per uno scalare produce vettori.

In coordinate polari, cioè dato un punto di E3 e una semiretta che esce da quel punto, si determina univocamente un vettore mediante la distanza r dall’origine e due angoli rispetto alla semiretta. Abbiamo cioè sempre bisogno di tre paramentri, anche se abbiamo coordinatizzato E3 in modo diverso.

Mi sono sempre chiesto perché si rappresentano i vettori mediante una freccia e non tramite un segmento. In realtà in coordinate rettangolari o polari basterebbe un segmento, dato che l’origine determina univocamente il “verso” del vettore. La punta della freccia diventa importante quando il vettore non è applicato all’origine, allora essa ci dice che per avere le componenti del vettore dobbiamo mettere l’origine là dove non c’è la punta.

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