LA GELMINI E IL BINOMIALE DI NEWTON

La recente barocca metodologia di formazione delle commissioni dei concorsi universitari è un’occasione per ripassare la straordinaria formula del binomiale di Newton. Immaginiamo che 10 persone si incontrino e tutte si vogliono stringere la mano. Quante strette di mano faranno? Per risolvere un problema del genere si usa la celebre formula del binomiale di Newton, che è la stessa che produce il triangolo di Tartaglia, che serve a determinare i coefficienti dei prodotti notevoli (1,1), (1,2,1), (1,3,3,1)…. La formula si può indicare (n k) e si legge “n su k”. (n k) calcola il numero di modi in cui si possono prendere k oggetti da un insieme di n oggetti. Per calcolare (n k) occorre conoscere il significato della notazione n! che si legge “n fattoriale”. Ad esempio 5! è uguale a 2per3per4per5. Ovvero n! indica la moltiplicazione di tutti i numeri naturali fino a n. Allora (n k)=n!/k!per(n-k)!. Ad esempio, nel caso delle strette di mano n=10 e k=2, perché a ogni stretta di mano corrisponde una coppia. Per cui il numero di strette di mano è uguale al numero di modi in cui si possono prendere due persone dalle 10. Applicando il binomiale abbiamo (10 2)=10!/2!per8! che è uguale a 45. Dunque all’incontro ci saranno 45 strette di mano.
Si può capire il senso di questa formula considerando i seguenti esempi. Poniamoci il problema in quanti modi si possono sedere 5 persone in 5 posti. Entra la prima e ha 5 scelte, a questo punto entra la seconda e per ogni scelta della prima persona ha 4 scelte, per cui bisognerà moltiplicare 5 per 4. Entra la terza e per ogni scelta delle prime due avrà 3 possibilità, quindi 5per4per3. Entra la quarta persona e per ogni scelta delle prime tre avrà due possibilità, quindi 5per4per3per2. Infine l’ultima dovrà sedersi là dove è rimasto il posto libero. Dunque le possibilità sono esattamente 5!. In generale i modi in cui n oggetti possono essere messi in n posti sono n!. Consideriamo ora un problema diverso. Lucia va al parco e vuole salire sull’altalena. Ci sono 3 altalene e altri 4 bambini, oltre a Lucia. Ogni 5 minuti arrivano le mamme e dicono di cambiare turno, per cui i 3 bambini che sono sull’altalena scendono e ne salgono altri 3, secondo una equa rotazione, in modo che tutti i bambini abbiano la stessa quantità di altalena. La domanda è: ogni quanto tempo sarà il turno di lucia? Sappiamo che se dovessimo mettere 5 persone in 5 posti avremmo 5! possibilità. Ora noi dobbiamo assegnare 3 soli posti a 5 bambini. Il primo lo possiamo attribuire in 5 modi; ciò fatto il secondo lo possiamo attribuire a uno dei 4 bambini restanti e il terzo a uno dei 3 restanti. Quindi il risultato è 5per4per3 modi. Cioè dobbiamo togliere una parte di 5!, per la precisione 5!/(5-3)!. Tuttavia questo non è ancora il risultato, perché a noi non interessa come si dispongono i 3 bambini sulle tre altalene; è irrilevante per la nostra questione, l’importante è che ci siano 3 altalene in tutto. Per cui dobbiamo eliminare tutte le situazioni in cui gli stessi 3 bambini si cambiano di posto sulle 3 altalene. Sappiamo che tali possibilità sono 3!. Quindi il numero di turni è 5!/3!per(5-3)!=4per5/2=10. Dunque ci sono 10 turni e Lucia dovrà aspettare 50 minuti. Abbiamo applicato proprio la formula del binomiale, cioè il numero di turni di n bambini che hanno a disposiizone k altalene è (n k).
Ora il meccanismo per formare le commissioni è il seguente. Ogni commissione ha 5 membri, di cui uno già designato dalla sede che ha bandito, per cui bisognerà sceglierne 4 per ogni concorso. Mettiamo che nel settore scientifico-disciplinare tuttologia ci siano C concorsi (da ordinario e da associato assieme, non fa differenza), allora bisognerà estrarre 4perC commissari da una lista che verrà formata in base alla votazione di tutti i professori ordinari di tuttologia. Tale lista dovrà contenere un numero triplo di possibili commissari, cioè 3per4perC. Ad esempio, mettiamo che in tuttologia ci siano 3 concorsi, allora la lista da cui estrarre sarà di 36 professori.
Vediamo ora perché ci serve il binomiale. Facciamo l’ipotesi che Pinco abbia fatto domanda a Canicattì in un concorso di tuttologia e supponiamo che dopo la votazione su 36 possibili commissari ce ne sia un terzo a favore di Pinco e due terzi contro, cioè 12 a favore e 24 contro. Supponiamo inoltre che il membro designato di Canicattì sia favorevole a Pinco. Allora a Pinco, per vincere il concorso, basta che su 4 commissari estratti 2 siano fra quelli a lui favorevoli. Questo problema è un caso particolare della seguente questione. In un’urna ci sono N palline, di cui B bianche e R rosse. Ne estraiamo n, con n minore o uguale a N. Quale è la probabilità che fra le n estratte ce ne siano almeno r rosse, con r minore o uguale a n? La formula è la seguente:

Somma per i che va da r a n di [(R i)per(B n-i)]/(N n)

Come vedete si usa ben tre volte il binomiale di Newton. Per Pinco N=36, R=12, B=24 e r=2. Facendo i conti risulta che Pinco ha circa 40% di probabilità di avere altri due commissari favorevoli!
Vediamo il conto nello specifico per capire meglio la formula. Nell’urna ci sono 12 commissari buoni e 24 cattivi, ne estraiamo 4 e di questi 4 abbiamo bisogno che almeno 2 siano buoni. Innanzitutto, quanti sono i possibili modi in cui 4 persone possono essere prese da 36? Applichiamo il binomiale, cioè (36 6). Noi sappiamo che la probabilità è data dal numero di casi favorevoli fratto il numero dei casi possibili. Quindi i casi possibili sono (36 6)=58.905. Infatti il denominatore della nostra formula è proprio (N n). Ora dobbiamo determinare il numero dei casi favorevoli. Ci vanno bene solo i casi in cui almeno 2 commissari sono buoni. Calcoliamoci allora i possibili modi in cui ce ne sono esattamente 2 buoni. Se ce ne sono 2 buoni ce ne saranno due cattivi. Allora il numero di modi sarà dato dalla moltiplicazione dei modi in cui possiamo scegliere 2 commissari buoni dai 12 possibili per il numero di modi in cui possiamo scegliere 2 commissari cattivi dagli altri 24. Cioè (12 2)per(24 2)=18.216. A Pinco va bene anche se escono 3 commissari buoni e 1 cattivo, cioè (12 3)per(24 1)=5.280 e ovviamente anche 4 buoni e 0 cattivi, cioè (12 4)per(24 0)=495. (24 0)=1 e (12 4) sono tutti i modi in cui possiamo prendere 4 commissari buoni dai 12 disponibili.
Dunque abbiamo:

(18.216+5.280+495)/58.905=0,40

Da cui segue che Pinco ha 40% di possibilità di avere una commissione favorevole.
Una volte un collega mi disse: ma perché invece di estrarre i commissari non sorteggiano direttamente i candidati? Si risparmierebbe tempo.

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