FORMALIZZARE IL CONCETTO DI SOMIGLIANZA

E’ noto che la somiglianza è una relazione non transitiva. Un segmento lungo 10 cm assomiglia a uno lungo 9,99 cm; uno lungo 9,99 a uno lungo 9,98 e così via fino a 1 mm; ma il segmento lungo 10 cm di certo non assomiglia a quello lungo 1 mm. La somiglianza non è transitiva anche per un’altra ragione: Gigi assomiglia a Mario per gli occhi, mentre Mario assomiglia a Carlo per i capelli e la bocca; allora chiaramente, in generale, Gigi non somiglierà a Carlo. Diciamo che ci occupiamo solo di somiglianza per lo stesso aspetto. Fra parentesi, proprio perché una definizione minimamente rigorosa della nozione di somiglianza presuppone il concetto di “stesso aspetto” il progetto di tutti gli empiristi fino al Carnap della costruzione logica del mondo di costruire le proprietà sulla base di essa non funziona, come ha mostrato Nelson Goodman.
La somiglianza nello stesso aspetto o d’ora in poi somiglianza può essere quantitativa, come quella che abbiamo visto prima, oppure qualitativa. L’esempio paradigmatico di somiglianza qualitativa è quella figurale. Ad esempio due triangoli simili hanno gli stessi angoli e i lati nelle stesse proporzioni, ma uno può essere enorme e l’altro piccolissimo. La somiglianza qualitativa fra A e B di solito in algebra si descrive mediante un isomorfismo, cioè una funzione che associa tutti gli elementi di A con quelli di B in modo che se gli elementi di A hanno una certa proprietà o stanno in una certa relazione (possiedono cioè un certo predicato a uno o più posti), allora gli elementi di B hanno la proprietà o la relazione corrispondente, la stessa per la stessa. Ad esempio:

A X—X—X

B Y——Y——Y

Se f associa il primo X con il primo Y, il secondo X con il secondo Y e il terzo X con il terzo Y, allora la proprietà “essere un X” è in corrispondenza della proprietà “essere un Y”, cioè se vale la prima per un elemento di A vale la seconda per il corrispondente elemento di B e se due elementi di A sono collegati da tre trattini, allora i corrispondenti elementi di B sono collegati da sei trattini. Non solo, per un isomorfismo deve anche esistere l’inversa di f. Per questa ragione f, oltre a essere una funzione, cioè a non mandare un elemento di A in due diversi elementi di B, è anche iniettiva, cioè non ci sono due elementi di A che vanno nello stesso elemento di B, e suriettiva, cioè tutti gli elementi di B sono utilizzati da f. L’isomorfismo è chiaramente una relazione transitiva. Tuttavia anche la somiglianza qualitativa per lo stesso aspetto è transitiva, per cui l’isomorfismo esprime bene tale relazione. Ci chiediamo allora che cosa succeda per una somiglianza quantitativa.
Eugen Netto nel 1882, studiando i gruppi, distinse fra isomorfismo e omomorfismo: quest’ultimo non richiede che f sia invertibile, cioè f non è detto che sia iniettiva e suriettiva. L’omomorfismo non è una relazione simmetrica, ma resta transitiva: Ad esempio:

X—X

Y Y—Y

Z—Z Z Z

L’insieme degli X è omomorfo a quello degli Y, ma non vale il viceversa. L’insieme degli Y è omomorfo a quello degli Z e infatti l’insieme degli X è omomorfo a quello degli Z. Non è questa la strada per formalizzare il concetto di somiglianza quantitativa che è una relazione simmetrica e non transitiva.
Ci vorrebbe qualcosa del tipo “un isomorfismo a meno di un numero n ben definito di elementi”. Così ad esempio, se dividiamo il segmento di 10 centimetri i mille pezzetti lunghi un millimetro possono essere isomorfi ai 999 del segmento lungo 9,99 cm tranne un elemento. Un concetto di questo tipo consentirebbe anche di quantificare il grado di somiglianza. In effetti abbiamo chiamato questo tipo di somiglianza “quantitativa”.

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