LA RICOSTRUZIONE MEREOLOGICA DEL CONTINUO

All’inizio del ventesimo secolo il logico polacco Lesniewski aveva tentato di formulare la matematica non sulla base della teoria degli insiemi, ma su quella di un calcolo delle parti e del tutto, chiamato “mereologia”. Questo ha il vantaggio immediato di non dare origine al paradosso di Russell e di rendere possibile forse una visione nominalistica della matematica, in quanto in quella prospettiva non si dovrebbe mai quantificare su insiemi, ma solo su individui. Faccio un esempio. Se diciamo “tutti gli individui che sono estesi hanno anche una forma”, stiamo utilizzando i predicati “esteso” e “forma”, ma non ci impegniamo all’esistenza delle corrispondenti proprietà, ci impegniamo però all’esistenza di individui che hanno quelle caratteristiche. Se, invece, diciamo “tutti i colori corrispondono a lunghezze d’onda del campo elettromagnetico”, allora stiamo dicendo qualcosa sui colori come proprietà. Da quell’enunciato è infatti deducibile “esiste almeno un colore che corrisponde a una lunghezza d’onda del campo elettromagnetico” (almeno nel calcolo dei predicati del primo ordine standard. Esistono poi dei tentativi di teorie logiche, chiamati logiche libere, che non consentirebbero questa deduzione). Nella teoria degli insiemi standard, che sta alla base della matematica moderna, esiste l’insieme vuoto e in generale l’insieme che contiene l’individuo “a” è qualcosa di diverso da “a”. Cioè gli insiemi esistono come entità in più rispetto agli individui. Normalmente in matematica si utilizzano, infatti, enunciati del tipo “tutti gli insiemi continui di numeri reali hanno cardinalità infinita più che numerabile”. Come si vede, stiamo quantificando sugli insiemi, per cui ci stiamo impegnando a sostenere la loro esistenza. In mereologia tutto questo non succede, perché essa è stata elaborata, prima da Lesniewski, poi da Nelson Goodman e in anni recenti soprattutto da Simons, Smith e Varzi come calcolo sugli individui. Prima di affrontare questa prospettiva, vorrei però fare qualche considerazione.
Nella descrizione fisica del moto – senza prendere in considerazione i recenti tentativi di rendere discreto lo spazio e il tempo (vedi, ad esempio, Rovelli e Smolin), noi presupponiamo che un corpo possa assumere un numero infinito di posizioni, e in generale, la maggior parte delle proprietà osservabili può assumere un numero infinito di valori. Ci sono almeno due motivi per cui questa infinità non può essere quella del numerabile. In primo luogo Achille muovendosi da A a B occuperà in successione un numero infinito di posizioni. Questo significa che il segmento di spazio AB è costituito da un numero infinito di punti. Se questa infinità non fosse più che numerabile, come, ad esempio, quella dei numeri reali, allora scatterebbe il paradosso di Zenone detto del grande e del piccolo, che è stato trasmesso da Simplicio nel suo commento alla Fisica di Aristotele: i casi sono due, o questi punti sono lunghi zero, e allora il segmento AB sarebbe lungo zero, oppure sono lunghi un ε finito piccolo quanto si vuole, e allora, siccome ε, per quanto piccolo, moltiplicato per infinito dà comunque infinito, il segmento risulterebbe lungo infinito. Come hanno mostrato Russell e Grunbaum il problema si risolve notando che il segmento AB contiene un’infinità più che numerabile di punti, poiché per gli insiemi di questo tipo, la misura non dipende dalla cardinalità.
C’è un altro motivo per cui i punti attraversati da Achille andando da A a B devono essere un’infinità non numerabile. L’insieme denso dei numeri razionali è totalmente sconnesso, cioè il normale concetto topologico di connessione (continuità) non si applica a nessuno dei suoi sottoinsiemi con più di un elemento. Questo significa che Achille, andando da A a B, in un certo senso compie un insieme infinito di compiti, in quanto deve attraversare ognuno di questi infiniti punti. Per realizzare fisicamente un insieme infinito di compiti occorre un tempo infinito, per cui Achille non arriverebbe mai. Le cose starebbero diversamente se l’insieme dei punti fra A e B avesse la cardinalità dei reali, perché l’insieme dei numeri reali compresi fra n(A) e n(B) è connesso (dove con n(X) indico il numero reale che facciamo corrispondere al punto X dello spazio).
Dunque la fisica, come la conosciamo finora, esige di poter quantificare su insiemi infiniti non numerabili. Allora la domanda è: è possibile mediante l’approccio mereologico ottenere questo risultato? Mi sembra che la risposta sia negativa. Per mostrarlo, prendo in considerazione lo splendido articolo di rassegna di Varzi del 1996 su Data and knowledge enginieering, vol. 20, pp. 259-286.
In primo luogo si introducono i più che ragionevoli assiomi lessicali della relazione “P”, che intuitivamente significa, “se Pxy, allora x è una parte di y”. Questi assiomi ci dicono che P è una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Questa è la teoria M. Poi aggiungiamo un principio di supplementazione, che afferma di fatto che se un individuo ha una parte propria ne ha almeno un’altra. E otteniamo la mereologia estensionale EM, all’interno della quale due individui distinti non possono avere le stesse parti proprie. A questo punto aggiungiamo un principio di composizione non ristretta, che di fatto ci consente di costruire la somma e il prodotto (intersezione) di due qualsiasi individui. Otteniamo così la teoria mereologica che viene chiamata GEM. Si può richiedere la densità di GEM aggiungendo l’assioma per cui ogni individuo ha almeno una parte propria. Questa teoria viene chiamata ÃGEM. Notiamo però che il principio di composizione non ristretta è uno schema di assiomi, che ci consente solo di sommare un numero infinito numerabile di individui.
A questo punto incontriamo un importante insuccesso della mereologia: non si è riusciti a costruire il concetto di continuo a partire da assiomi mereologici di questo tipo. Infatti se diciamo che due individui sono in connessione quando esiste un terzo che si sovrappone a entrambi (sovrapporsi è, invece, un concetto mereologico), risulta che questo terzo individuo potrebbe a sua volta non essere connesso e pseudo connettere due individui non connessi. Questo è quello che viene chiamato “il dilemma di Whitehead”, perché il grande matematico e filosofo inglese per primo è rimasto impigliato in esso. Per questa ragione, se vogliamo parlare di continuità dobbiamo introdurre una nuova relazione C e i suoi assiomi, dando origine a quella che Varzi chiama “mereotopologia”. Io l’avrei chiamata “mereosinecologia”, visto che è una cosa diversa dalla topologia standard che è di uso comune in matematica. “Cxy” significa più o meno “x è connesso a y”. E’ una relazione simmetrica e riflessiva e se x è una parte di y allora ogni individuo connesso a x è connesso anche a y. Otteniamo così quella che viene chiamata la teoria ÃGEMT. All’interno di questa teoria si possono definire dei concetti di aperto e chiuso molto simili a quelli della topologia standard. E, aggiungendo altri due assiomi di chiusura si ottiene una teoria che è molto simile a quest’ultima, salvo il fatto che la sua base non è insiemistica, ma mereologica. Un’altra differenza cruciale rispetto alla topologia standard è che in quest’ultima la connessione è una proprietà di un insieme, mentre nella mereotopologia è una relazione fra individui.
Il fatto che non si sia riusciti a ricostruire il concetto di continuità in termini puramente mereologici lo trovo uno scacco per questo approccio, poiché se dal punto di vista fenomenologico la relazione parte e tutto ha un’impronta profondamente intuitiva, questa nuova relazione C è piuttosto indigesta. Ma a questo si può ovviare, come ha mostrato Carole Eschenbach, in un articolo del 1995 sul Journal of human-computer studies, vol. 43, pp. 723-40, restringendo il dominio della mereologia a oggetti connessi, chiamati regioni. Il vero punto debole di tutto l’approccio mi sembra invece l’impossibilità che questa teoria abbia modelli con un numero infinito non numerabile di individui, che, come abbiamo visto prima, è un’esigenza della fisica. Da un punto di vista pratico questo è assolutamente irrilevante, anche in considerazione del teorema di Lowenheim-Skolem. Nella stessa meccanica quantistica si rappresenta un’osservabile, che è una funzione continua, in uno spazio di Hilbert a un numero infinito numerabile di dimensioni. Tanto ci si avvicina quanto si vuole ai valori reali della variabile. Però, se siamo un minimo realisti scientifici, allora siamo costretti ad affermare che stante le nostre attuali conoscenze fisiche sul mondo, Achille, quando va da A a B, passa un numero infinito non numerabile di posizioni e questo la mereotopologia non è in grado di descriverlo.

Annunci

1 Commento

Archiviato in FILOSOFIA DELLA FISICA, FILOSOFIA DELLA SCIENZA

Una risposta a “LA RICOSTRUZIONE MEREOLOGICA DEL CONTINUO

  1. karagounis78

    “Però, se siamo un minimo realisti scientifici, allora siamo costretti ad affermare che stante le nostre attuali conoscenze fisiche sul mondo, Achille, quando va da A a B, passa un numero infinito non numerabile di posizioni e questo la mereotopologia non è in grado di descriverlo.”
    Sono pienamente in disaccordo. Nella stessa frase inserisci il concetto, dinamico e giustissimo, di conoscenze in evoluzione e quello statico di concordanza al pensiero scientifico in voga.
    Io ritengo che noi percepiamo il mondo come continuo e così cerchiamo di descriverlo, tuttavia penso che lo spazio-tempo sia quantitzzato tanto quanto la materia-energia. Anzi, proprio la quantizzazione dello spazio-tempo comporta un’eguale quantizzazione delle particelle. Citi due studiosi che stanno cercando di fare questo passo concettuale. Non li conosco, ma cercherò di codumentarmi. Forse tu conosci Walter Cassani, il quale già ha sviluppato una teoria su queste premesse: quantizzo lo spazio-tempo, sempre partendo dalla relatività, e vedo che conseguenze ottengo. Mi sembra che i risultati siano sbalorditivi e perfettamente in linea con quanto possiamo dire del mondo; una coerenza anche estetica che fa perlomeno riflettere.

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...