LA DEMOCRAZIA QUANTISTICA

Nell’ultimo numero di Le scienze c’è un roboante articolo su un presunto nuovo illuminismo quantistico! L’idea sarebbe che alcuni classici paradossi della razionalità potrebbero essere risolti in ambito quantistico. Howard Barnum ha criticato in modo dettagliato le proposte. Vorrei qui soffermarmi sull’idea di Gavriel Segre di aggirare i limiti del teorema di Arrow mediante la logica quantistica.

Il teorema di Arrow parte dall’osservazione di Condorcet che le preferenze non sono transitive. Facciamo l’ipotesi che ci siano 3 persone, chiamiamoli V1, V2 e V3 e che possano scegliere 3 alternative, chiamiamole c1, c2 e c3. Mettiamo che gli ordini di preferenza siano questi:

V1     c1>c2>c3

V2   c2>c3>c1

V2   c3>c1>c2

Se mettiamo in votazione prima c1 e c2  vince c1 e poi tra c1 e c3 vince c3. Se mettiamo in votazione prima c1 e c3 vince c3 che però perde da c2. Vediamo quindi che il risultato della scelta dipende dall’ordine delle votazioni.

Facciamo l’ipotesi che l’insieme delle scelte C abbia almeno 3 elementi. Ognuno dei Vi avrà un suo ordine di preferenza, chiamiamolo OVi. Dobbiamo trovare un buon modo per stabilire un ordine di preferenza collettivo OS che dipenda da OVi.

OS deve dipendere solo dagli ordini di preferenza individuali.

Se tre cittadini V1, V2, V3 preferiscono c1 a c2 e il sistema di scelta sociale fa sì che  V1 e V2 assieme preferiscono c1 a c2, allora il sistema di scelta sociale OS deve fare sì che l’aggiunta di v3 non cambi la situazione.

Non ci sono due alternative c1 e c2 tali che il sistema di scelta sociale OS le metta in un certo ordine indipendentemente dalle scelte dei cittadini.

Non esiste un cittadino Vi (chiamiamolo dittatore) tale che le sue scelte coincidono con quelle del sistema di scelta sociale SO indipendentemente dalle preferenze degli altri cittadini.

Il teorema di Arrow mostra che non esiste un SO che soddisfa tutti e 4 questi ragionevoli requisiti. SO è una funzione che va da tutti possibili ordini di preferenza dei cittadini a un certo ordine.

Che cosa c’entra questo con la logica quantistica?

Un’algebra booleana è un insieme chiuso rispetto all’intersezione e all’unione, che abbia per entrambe queste operazioni un elemento neutro e sia distributivo dall’una all’altra. Possiamo facilmente concepire una struttura algebrica in cui valgono delle operazioni simili all’intersezione e all’unione, ma dove non vale la distributività. Queste strutture si chiamano reticoli ortomodulari.

Il calcolo proposizionale classico è isomorfo a un’algebra booleana in cui si interpreta la congiunzione come intersezione, la disgiunzione come unione, la negazione come fare il complementare dell’insieme potenza di un determinato insieme.

L’idea originaria di von Neumann fu di dire che la struttura della logica quantistica non è booleana, ma un reticolo ortomodulare, in cui non vale la distributività.

Il teorema di Arrow si può anche enunciare mediante la nozione di ultrafiltro, introdotta da Cartan. Un filtro  F di un insieme A è un insieme di sottoinsiemi di A che è chiuso rispetto all’intersezione e rispetto all’essere contenuto. Un ultrafiltro è principale se esiste un elemento x di A tale che F contiene tutti e soli I sottinsiemi di A che contengono x.  Questa condizione è equivalente alla condizione del teorema di Arrow che non esista il dittatore. Il teorema di Arrow ci dice che un OS che soddisfa le prime 3 condizioni implica l’esistenza di un dittatore, cioè ogni ultrafiltro è principale.

Secondo Segre solo se la logica è classica allora gli ultrafiltri sono necessariamente principali. Invece se la struttura è quella di un reticolo ortomodulare, allora esistono anche ultrafiltri non principali, cioè sistemi di scelta sociale democratici aggirando  il teorema di Arrow. Barnum sostiene che questa affermazione è sbagliata e che gli unici sistemi elettorali democratici sono quelli in cui il numero di elettori è infinito.